对于0≤r≤n,有

C(n,r)=C(n,n-r)

C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)

C(n,0)+ C(n+1,1)+ C(n+2,2)+ …+ C(n+r,r)= C(n+r+1,r)

C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*C(n-r,l-r)

C(n,0)+ C(n,1)+…+ C(n,n-1)+ C(n,n)=2n

C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-…±C(n,n)=0

C(m+n,r)=C(m,0)*C(n,r)+C(m,1)*C(n,r-1) +…+C(m,r)*C(n,0)

C(m+n,m)=C(m,0)*C(n,0)+C(m,1)*C(n,1)+…+C(m,m)*C(n,m)

∑j≥0 C(k,j)* C(l,j)* C(n+k+l-j,k+1)= C(n+k,k) C(n+l,l)

第二类stirling数 S(p,k) 表示将p个元素的集合划分成k个非空集合的划分的个数。

  S(p,p)=1  S(p,0)=0

  S(p,k)=kS(p-1,k)+S(p-1,k-1) (1<=k<=p-1)

第一类stirling数 S(p,k) 表示将p个物体排成k个非对空循环排列的方法数。

  S(p,p)=1  S(p,0)=0

  S(p,k)=(p-1)S(p-1,k)+S(p-1,k-1) (1<=k<=p-1)

原名题：A->B
否命题：not A->not B
逆命题：B->A
逆否命题：not B->not A

关系：A->B <=> not B->not A

反正法：
要证A->B,则假设A->not B或B->not A是对的，然后推出矛盾即可。

计算机无法产生真正的随机数,这也正是计算机无法实现人工智能的主要原因.

随机序列 Xi+1=(Xi*a+b)mod c+d

随机种子  randomseed

大质数:51351 , 891001 , 3214567

等价关系:自反,对称,传递

判断树的几个充要条件：
1、连通且无环
2、任意两点之间有且只有一条路径
3、连通且|E|=|V|-1

1个字节:boolean、char、byte
2个字节:integer
4个字节:longint
8个字节:int64

辗转相除复杂度为O(log)

当10a+b能被7整除,因为7a+7b能被7整除,所以3a-6b能被7整除

则a-2b能被7整除,这也就是判断是否能被7整除的方法

则有结论: 11...17(有n个1,最后一个数为7),  当n能被6整除时, 那么这个数就能被7整除.

例:定义P(n)为n的所有数字的乘积。例如，P(1243)=1*2*4*3=24，P(198501243)=0。
我们称一个数n为“好数”，如果P(n)<>0且n mod P(n)=0。
我们称一个数n为“完美数”，如果n和n+1都是好数。
读入一个数K，输出恰好为K位的完美数有多少个。(k<=1000000)

如果n为完美数,那么n和n+1均为好数

则它们末位均不为零,前k-1位都相同,所以前k-1位相乘的值是n和n+1的公约数,又因为n与n+1互质,所以这个数前k-1位肯定全为1

那么完全数只可能是形如11...1x(k-1个1)的数,再分别判断k不同时,x有哪些取法.(7的判断就用到了上面说的那个结论)

D(1)=0,D(2)=1

递推式：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))

通项: D(n)=n!(1-1/2!+1/3!-.....+(-1)n/n!)

1+1/2+1/3+....1/n 等阶于 logn

log n! 等阶于 nlogn

给出2*n+1个数,其中有且仅有一个数出现了奇数次,求此数     x=a1 xor a2 xor a3.....xor an

问题：求x

a1=x mod m1

a2=x mod m2

....

an=x mod mn

算法：

1.当m1,m2,...,mn两两互质的时候:

   M=m1*m2*m3*....*mn;  Mi=M/mi;

   解 p*Mi+q*mi＝1

   ei=p*Mi;

   则 ei mod mj=1 (i=j)

   或 ei mod mj=0 (i<>j)

   所以 x0=a1e1+a2e2+....+anen 为一个可行解

   所有解为 x=x0+kM (k为整数)

2.非两两互质的时候可通过此变化使其两两互质:

   设 k=gcd(m1,m2) n1=m1/k n2=m2/k

   x mod m1=a1 -> x mod (k*n1)=a1 -> x mod n1=a1 mod n1

   x mod m2=a2 -> x mod (k*n2)=a2 -> x mod n2=a2 mod n2

   根据此方法,当Mi和mi非互质时,改变mi和ai的值即可.